Warum trennt LaTeX Worte mit Umlauten nicht oder nicht korrekt?

Vermutlich fehlt das Paket fontenc mit der Option T1:

\usepackage[T1]{fontenc}

in der Präambel.

Das Paket fontenc schaltet auf eine andere Fontkodierung um. Die Schriftart, die TeX (und somit LaTeX) normalerweise nutzt, liegt in einer Kodierung vor, die Umlaute nicht enthält. Ein Umlaut wird durch den zugehörigen Vokal und zwei Punkten erzeugt, die darüber gesetzt werden. Damit wird aber verhindert, dass TeX hinter dieser Stelle noch weitere Stellen für Silbentrennung findet.

\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
\showhyphens{Augenhöhe}
\showhyphens{Mädchen} 
\end{document}

ergibt

[] \OT1/cmr/m/n/10 Au-genh[]ohe
[] \OT1/cmr/m/n/10 M[]adchen

Hier findet TeX wenigstens noch eine Trennung im Wort »Augenhöhe«. Aktiviert man das Paket fontenc,

\documentclass[ngerman]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\begin{document}
\showhyphens{Augenhöhe}
\showhyphens{Mädchen} 
\end{document}

so ist alles in Ordnung:

[] \T1/cmr/m/n/10 Au-gen-h?-he
[] \T1/cmr/m/n/10 M?d-chen

(die ? brauchen uns nicht zu irritieren).